Сколько двузначных чисел, которые при делении на сумму цифр числа дают неполное частное 7 и остаток 3?

Чтобы найти количество двузначных чисел, которые при делении на сумму цифр дают неполное частное 7 и остаток 3, нужно решить задачу поэтапно.

Обозначения:

Пусть дано двузначное число $N$, которое можно представить в виде:

где $a$ — десятки (цифра от 1 до 9), а $b$ — единицы (цифра от 0 до 9).

Сумма цифр числа $N$ будет:

Тогда условия задачи можно записать так: при делении числа $N$ на сумму его цифр $S$, частное должно быть 7, а остаток — 3. Математически это можно записать как:

Подставим выражение для $N$ и $S$ в это уравнение:

Теперь раскроем скобки и упростим:

Переносим все элементы на одну сторону:

Делим обе части на 3:

Решение:

Теперь нам нужно решить уравнение $a - 2b = 1$, при этом $a$ и $b$ — целые числа, где $a$ от 1 до 9, а $b$ от 0 до 9.

Решим уравнение для разных значений $b$:

• $b = 0$, тогда $a - 2(0) = 1$, значит $a = 1$.
• $b = 1$, тогда $a - 2(1) = 1$, значит $a = 3$.
• $b = 2$, тогда $a - 2(2) = 1$, значит $a = 5$.
• $b = 3$, тогда $a - 2(3) = 1$, значит $a = 7$.
• $b = 4$, тогда $a - 2(4) = 1$, значит $a = 9$.

Итак, возможные пары $(a, b)$, которые удовлетворяют уравнению $a - 2b = 1$, это:

Проверка:

Теперь проверим каждую пару:

1. Для $(a, b) = (1, 0)$: $N = 10(1) + 0 = 10$, $S = 1 + 0 = 1$, $10 \div 1 = 10$ (не подходит, частное не 7).
2. Для $(a, b) = (3, 1)$: $N = 10(3) + 1 = 31$, $S = 3 + 1 = 4$, $31 \div 4 = 7$ с остатком 3 — подходит.
3. Для $(a, b) = (5, 2)$: $N = 10(5) + 2 = 52$, $S = 5 + 2 = 7$, $52 \div 7 = 7$ с остатком 3 — подходит.
4. Для $(a, b) = (7, 3)$: $N = 10(7) + 3 = 73$, $S = 7 + 3 = 10$, $73 \div 10 = 7$ с остатком 3 — подходит.
5. Для $(a, b) = (9, 4)$: $N = 10(9) + 4 = 94$, $S = 9 + 4 = 13$, $94 \div 13 = 7$ с остатком 3 — подходит.

Ответ:

Числа, которые удовлетворяют условию задачи, это 31, 52, 73 и 94. Таких чисел 4.