A 12.1. Выпишите первые пять членов возрастающей числовой после
довательности, состоящей из натуральных чисел, которые
1) при делении на 4 дают остаток 2;
2) при делении на 7 дают остаток 1;
3) при делении на 5 дают остаток 3;
4) при делении на 9 дают остаток 8.​

Для нахождения первых пяти членов возрастающей числовой последовательности, которая удовлетворяет всем четырём условиям, нужно использовать систему сравнений с остатками (или систему линейных сравнений). Давайте разберёмся, как найти такие числа.

У нас есть следующие условия:

1. Число при делении на 4 даёт остаток 2, т.е. $x \equiv 2 \pmod{4}$.
2. Число при делении на 7 даёт остаток 1, т.е. $x \equiv 1 \pmod{7}$.
3. Число при делении на 5 даёт остаток 3, т.е. $x \equiv 3 \pmod{5}$.
4. Число при делении на 9 даёт остаток 8, т.е. $x \equiv 8 \pmod{9}$.

Решение этой системы можно найти методом китайской теоремы об остатках или с помощью последовательных подстановок.

Начнём с того, что нам нужно найти число, которое удовлетворяет всем этим четырём условиям.

1. Рассмотрим первые два условия: $x \equiv 2 \pmod{4}$ и $x \equiv 1 \pmod{7}$. Мы можем решить эту систему с помощью подстановки или перебора.

   После подбора чисел, которые удовлетворяют обоим условиям, находим, что первое подходящее число — это 30. То есть, $x \equiv 30 \pmod{28}$, где 28 — это наименьшее общее кратное 4 и 7.

2. Теперь нужно учесть третье условие: $x \equiv 3 \pmod{5}$. Мы ищем числа вида $x = 30 + 28k$, которые удовлетворяют $x \equiv 3 \pmod{5}$. Проверяя несколько значений $k$, находим, что $x = 30$ подходит (так как 30 делится на 5 с остатком 3).

3. После этого учитываем последнее условие: $x \equiv 8 \pmod{9}$. Мы ищем числа вида $x = 30 + 28k$, которые при делении на 9 дают остаток 8. Подставляем несколько значений для $k$, находим, что $x = 30 + 28 \cdot 4 = 142$ удовлетворяет всем четырём условиям.

Таким образом, для последовательности, удовлетворяющей всем этим условиям, находим следующие числа: 30, 142, 254, 366, 478.

Ответ: первые пять членов последовательности — это 30, 142, 254, 366, 478.