В правильной шестиугольной призме \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) все рёбра равны 31. Найдите тангенс угла \(AD_1D\).

Решение

Обозначим длину ребра призмы через $a=31$.

1. Выбор координат

   Разместим нижнее основание $ABCDEF$ в плоскости $z=0$ так,
   чтобы его центр совпадал с началом координат $O(0,0,0)$.
   Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне, поэтому удобно взять

Верхнее основание $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ получаем параллельным переносом на высоту $a$ вверх, поэтому
$D_1(-a,0,a)$.

2. Векторы, образующие угол $\angle AD_1D$

   $$\vec{D_1A}=A-D_1=(a-(-a),\,0-0,\,0-a)=(2a,0,-a),$$ $$\vec{D_1D}=D-D_1=(-a-(-a),\,0-0,\,0-a)=(0,0,-a).$$

3. Косинус угла

   $$\cos\theta=\frac{\vec{D_1A}\cdot\vec{D_1D}}{|\vec{D_1A}|\;|\vec{D_1D}|} =\frac{(2a,0,-a)\cdot(0,0,-a)}{\sqrt{(2a)^2+0+(-a)^2}\;\cdot a} =\frac{a^2}{a^2\sqrt5}=\frac1{\sqrt5}.$$