В правильной треугольной призме abca1b1c1 все ребра равны 1 найдите косинус угла между прямой ac1 и плоскостью BCC1.

Для решения задачи найдём косинус угла между прямой $AC_1$ и плоскостью $BCC_1$ в правильной треугольной призме с длиной всех рёбер, равной $1$.

Шаг 1. Определение координат точек

Пусть $ABC$ — основание треугольной призмы, где $A(0, 0, 0)$, $B(1, 0, 0)$, $C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$. Верхние вершины $A_1, B_1, C_1$ находятся на высоте $1$ над соответствующими нижними вершинами, то есть:

• $A_1(0, 0, 1)$,
• $B_1(1, 0, 1)$,
• $C_1\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$.

Прямая $AC_1$ проходит через точки $A(0, 0, 0)$ и $C_1\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$. Плоскость $BCC_1$ определяется точками $B(1, 0, 0)$, $C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$ и $C_1\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$.

Шаг 2. Направляющий вектор прямой $AC_1$

Направляющий вектор прямой $AC_1$ равен:

Шаг 3. Нормаль к плоскости $BCC_1$

Для нахождения нормали к плоскости $BCC_1$ найдём векторы $\vec{BC}$ и $\vec{BC_1}$: