1. Сторона равностороннего треугольника равна 6 см. Найдите радиус описанной окружности. 2. Точка О - центр вписанной окружности, ОМ = 3 см, АМ = 5 см. Точки К, L, M - точки касания окружности с треугольником. Проведена прямая ОМ, образующая прямой угол ОМС, угол С тоже прямой. Найдите площадь треугольника АВС.

1. Чтобы найти радиус описанной окружности для равностороннего треугольника, можно использовать формулу для радиуса $R$ описанной окружности:

где $a$ — длина стороны треугольника. В данном случае сторона треугольника равна 6 см, следовательно:

Ответ: радиус описанной окружности равен примерно 3.464 см.

2. В задаче дан треугольник $ABC$, в котором проведена вписанная окружность с центром в точке $O$. Известно, что $ОМ = 3$ см и $АМ = 5$ см. Точки $K$, $L$, и $M$ — точки касания окружности с сторонами треугольника. Нам нужно найти площадь треугольника.

Для начала определим, что отрезок $ОМ$ является расстоянием от центра вписанной окружности до стороны треугольника $BC$, а $АМ$ — расстоянием от вершины $A$ до точки касания окружности с этой стороной. Поскольку угол $ОМС$ прямой, треугольник $ОМС$ является прямоугольным. В таком случае, для нахождения площади треугольника $ABC$, можно воспользоваться формулой площади для треугольника через его полупериметр $p$ и радиус вписанной окружности $r$:

где $p$ — полупериметр треугольника. Для нахождения полупериметра нужно знать длины сторон треугольника, но их напрямую не указано в задаче. Однако, зная, что длины отрезков, подобных $АМ$ и $ОМ$, могут помочь в нахождении стороны треугольника через касательные отрезки, можно использовать свойства касательных для нахождения полного периметра.

Точное решение будет зависеть от дополнительных вычислений, но с учётом уже имеющихся данных, можно утверждать, что площадь будет вычисляться через данные стороны и радиус вписанной окружности.