Угол между плоскостями треугольников ABC и ABD равен 45 (градусов). Треугольник ABC - равносторонний со стороной (4 корня из 3 см), треугольник ABD - равнобедренный, AD =BD = корень из 14 см. Найдите длину отрезка CD

Данная задача требует найти длину отрезка $CD$, зная, что угол между плоскостями треугольников $ABC$ и $ABD$ равен $45^\circ$, треугольник $ABC$ является равносторонним, а треугольник $ABD$ равнобедренный.

Дано:

1. Треугольник $ABC$ — равносторонний, каждая сторона равна $4 \sqrt{3}$ см.
2. Треугольник $ABD$ — равнобедренный, причём $AD = BD = \sqrt{14}$ см.
3. Угол между плоскостями треугольников $ABC$ и $ABD$ равен $45^\circ$.

Шаг 1. Найдём геометрические параметры треугольника $ABC$

Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, найдём его высоту. Для этого воспользуемся известной формулой для высоты равностороннего треугольника:

где $a = 4 \sqrt{3}$ — длина стороны треугольника $ABC$. Подставляем значение:

Таким образом, высота треугольника $ABC$, проведённая из вершины $C$ на сторону $AB$, равна 6 см.

Шаг 2. Определим координаты точек

Для удобства решения задачи воспользуемся декартовой системой координат.

Пусть:

• Точка $A$ находится в начале координат $(0, 0, 0)$,
• Точка $B$ лежит на оси $x$, и её координаты $(4 \sqrt{3}, 0, 0)$,
• Точка $C$, находящаяся на высоте треугольника, будет иметь координаты $(2 \sqrt{3}, 6, 0)$ — середина отрезка $AB$ и высота.

Шаг 3. Определим координаты точки $D$

Треугольник $ABD$ — равнобедренный, причём $AD = BD = \sqrt{14}$ см. Так как точка $D$ должна находиться в другой плоскости, её координаты можно определить через высоту, поднятую перпендикулярно плоскости $ABC$.

Для этого будем считать, что точка $D$ имеет координаты $(x_D, y_D, z_D)$, причём её проекция на плоскость $xOy$ лежит внутри треугольника $ABC$. Для удобства полагаем, что $D$ находится на оси $z$, то есть её координаты можно принять как $(2 \sqrt{3}, 0, z_D)$.

Из условия, что $AD = BD = \sqrt{14}$, и координат точек $A$ и $B$, найдём $z_D$ (высоту точки $D$ над плоскостью $ABC$).

Подставляем координаты точки $A$ $(0, 0, 0)$: