В цилиндр вписана правильная треугольная призма, объём которой V. Найти объем цилиндра.

Для того чтобы найти объём цилиндра, в который вписана правильная треугольная призма, нужно понимать несколько ключевых моментов.

1. Площадь основания треугольной призмы:
   Пусть основание треугольной призмы является равносторонним треугольником. Если $a$ — длина стороны этого треугольника, то площадь его можно вычислить по формуле:

   $$S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2.$$

2. Высота призмы:
   Высота правильной треугольной призмы будет равна $h$, так как она является длиной стороны цилиндра.

3. Объём призмы:
   Объём правильной треугольной призмы равен произведению площади её основания на высоту:

   $$V = S_{\text{треугольника}} \times h = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times h.$$

4. Цилиндр, в который вписана призма:
   Цилиндр, в который вписана правильная треугольная призма, имеет основание в виде окружности, вписанной в треугольник. Радиус этой окружности равен $r$, который связан с длиной стороны треугольника $a$ по следующей формуле:

   $$r = \frac{a \sqrt{3}}{6}.$$

5. Объём цилиндра:
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:

   $$V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h.$$

   Подставим выражение для $r$:

   $$V_{\text{цилиндра}} = \pi \left(\frac{a \sqrt{3}}{6}\right)^2 h = \pi \frac{3a^2}{36} h = \frac{\pi a^2 h}{12}.$$

6. Связь между объёмами:
   Из первого уравнения для объёма призмы имеем:

   $$V = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 h.$$

   Теперь выразим $a^2 h$ через $V$:

   $$a^2 h = \frac{4V}{\sqrt{3}}.$$

   Подставим это в формулу для объёма цилиндра:

   $$V_{\text{цилиндра}} = \frac{\pi}{12} \times \frac{4V}{\sqrt{3}} = \frac{\pi V}{3 \sqrt{3}}.$$

Итак, объём цилиндра, в который вписана правильная треугольная призма, равен: