Abca1b1c1 - правильная треугольная призма , все ребра которой имеют длину a. Точка M-середина a1b1 ; точка p середина bc. Постройте сечение призмы плоскостью amp , определите его вид и длины всех его сторон. РИСУНОК
30 Б

Для решения задачи построим сечение правильной треугольной призмы плоскостью, проходящей через точки $A$, $M$, и $P$. Давайте разберем все шаги и определим вид сечения и длины его сторон.

1. Анализ задачи и начальные данные:

• Дана правильная треугольная призма $A_1B_1C_1ABC$ с основанием $ABC$, где все ребра призмы имеют длину $a$.
• Точка $M$ — середина ребра $A_1B_1$.
• Точка $P$ — середина ребра $BC$.

Правильная треугольная призма имеет основание в виде правильного треугольника (то есть треугольник с равными сторонами и углами по $60^\circ$), и боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ перпендикулярны плоскости основания.

2. Определение точек и построение сечения:

Для построения сечения найдем координаты точек $A$, $B$, $C$, $A_1$, $B_1$, $C_1$ в прямоугольной системе координат, а затем определим координаты точек $M$ и $P$.

• Пусть $A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $C(a/2, \sqrt{3}a/2, 0)$ — координаты вершин основания.
• Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ лежат на высоте $h$ (равной $a$ по условию) над соответствующими вершинами, то есть $A_1(0, 0, a)$, $B_1(a, 0, a)$, $C_1(a/2, \sqrt{3}a/2, a)$.
• Точка $M$ — середина отрезка $A_1B_1$. Её координаты: $M((0 + a)/2, (0 + 0)/2, (a + a)/2) = (a/2, 0, a)$.
• Точка $P$ — середина отрезка $BC$. Её координаты: $P((a + a/2)/2, (0 + \sqrt{3}a/2)/2, 0) = (3a/4, \sqrt{3}a/4, 0)$.

3. Построение сечения плоскостью $AMP$:

Сечение треугольной призмы плоскостью, проходящей через три точки $A$, $M$, и $P$, будет определяться пересечением этой плоскости с боковыми гранями призмы.

1. Плоскость $AMP$ пересекает грань $ABC$ по прямой, проходящей через точки $A$ и $P$.
2. Плоскость $AMP$ пересекает грань $A_1B_1C_1$ по прямой, проходящей через точки $A_1$ и $M$.
3. Плоскость $AMP$ пересекает боковые грани $AA_1$ и $BB_1$.

На практике построение сечения в пространстве требует определения линии пересечения плоскости с боковыми гранями. Это можно сделать с помощью нахождения пересечений прямых и плоскостей через координаты точек.

4. Вид сечения и его стороны:

Сечение правильной треугольной призмы плоскостью $AMP$ является четырехугольником, так как оно проходит через две противоположные грани призмы. Определим стороны и их длины:

1. Определение точек пересечения:

   • Пересечение плоскости $AMP$ с ребром $AA_1$ даст точку $A$.
   • Пересечение плоскости $AMP$ с ребром $B_1C_1$ можно найти, решив уравнение плоскости $AMP$.

2. Форма сечения: Поскольку точки $A$, $M$, и $P$ лежат в одной плоскости, пересечение этой плоскости с призмой будет плоским четырехугольником. Такой четырехугольник будет трапецией или параллелограммом в зависимости от точного положения плоскости относительно боковых граней.

3. Длины сторон: Длины сторон можно определить по координатам точек:

   • $AM = \sqrt{(a/2)^2 + a^2} = a\sqrt{5}/2$