2 равнобедренных треугольника имеют равные углы, противолежащие основаниям. В одном из треугольников боковая сторона и высота, проведённая к основанию, равны 5 см и 4 см. Найти периметр второго треугольника, если его боковая сторона равна 15 см.

Задача предполагает, что два равнобедренных треугольника имеют одинаковые углы противолежащие основаниям, и можно использовать пропорциональность сторон этих треугольников.

1. Известные данные для первого треугольника:

   • Боковая сторона $b_1 = 5$ см.

   • Высота $h_1 = 4$ см.

2. Для второго треугольника:

   • Боковая сторона $b_2 = 15$ см.

3. Шаг 1: Найдем основание первого треугольника.

   Так как в равнобедренном треугольнике высота делит основание пополам, можно воспользоваться теоремой Пифагора для одного из прямоугольных треугольников, образующихся при проведении высоты.

   Для первого треугольника:

   • Высота $h_1 = 4$ см.

   • Половина основания $\frac{a_1}{2}$.

   • Боковая сторона $b_1 = 5$ см.

   Применим теорему Пифагора:

   $$b_1^2 = \left( \frac{a_1}{2} \right)^2 + h_1^2$$ $$5^2 = \left( \frac{a_1}{2} \right)^2 + 4^2$$ $$25 = \left( \frac{a_1}{2} \right)^2 + 16$$ $$\left( \frac{a_1}{2} \right)^2 = 25 - 16 = 9$$ $$\frac{a_1}{2} = 3 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 6 \, \text{см}.$$

   Таким образом, основание первого треугольника $a_1 = 6$ см.

4. Шаг 2: Используем пропорциональность для нахождения периметра второго треугольника.

   Поскольку два треугольника имеют одинаковые углы, они подобны. Следовательно, отношения соответствующих сторон одинаковы. То есть:

   $$\frac{b_2}{b_1} = \frac{a_2}{a_1}$$

   где $b_2 = 15$ см — боковая сторона второго треугольника, $a_1 = 6$ см — основание первого треугольника, $a_2$ — основание второго треугольника.

   Подставляем известные значения:

   $$\frac{15}{5} = \frac{a_2}{6}$$ $$3 = \frac{a_2}{6}$$ $$a_2 = 18 \, \text{см}.$$

5. Шаг 3: Находим периметр второго треугольника.

   Периметр равнобедренного треугольника равен сумме всех его сторон. Для второго треугольника:

   $$P_2 = 2b_2 + a_2$$ $$P_2 = 2 \times 15 + 18 = 30 + 18 = 48 \, \text{см}.$$

Ответ: периметр второго треугольника равен 48 см.