На сторонах AB, BC, AC треугольника ABC отмечены точки D, E, P соответственно; AB = 9 см, AD = 3 см, AP = 6 см, DP = 4 см, BE = 8 см, DE = 12 см. а) Найдите отношение площадей ΔDBE и ΔADP. [4] б) Докажите, что DE и AC параллельны.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$, в котором на сторонах $AB$, $BC$, $AC$ отмечены точки $D$, $E$, $P$ соответственно. Даны:

• $AB = 9$ см, $AD = 3$ см, значит $DB = 6$ см.

• $AP = 6$ см.

• $DP = 4$ см.

• $BE = 8$ см.

• $DE = 12$ см.

а) Найдём отношение площадей треугольников $\triangle DBE$ и $\triangle ADP$

Для этого удобно воспользоваться формулой площади треугольника:

Однако здесь рациональнее рассматривать координатный или векторный метод, но проще — через относительные площади на основе общих высот или разложения на треугольники, используя подобие или пропорции.

Шаг 1: Разберёмся с треугольником $\triangle AB$

• $AB = 9$, $AD = 3$, следовательно, $\frac{AD}{AB} = \frac{1}{3}$.

• То есть $D$ делит сторону $AB$ в отношении $1:2$.

Шаг 2: Разберёмся с точкой $P$ на $AC$

• $AP = 6$, $DP = 4$.

Поскольку точки $A, D, P$ образуют треугольник $\triangle ADP$, удобно представить этот треугольник отдельно.

Шаг 3: Найдём площади треугольников $\triangle ADP$ и $\triangle DBE$ через координаты

Для этого удобно ввести координаты, допустим:

• Пусть $A = (0, 0)$

• $B = (9, 0)$, так как $AB = 9$, прямая горизонтальна.

• Тогда $D = (3, 0)$ (так как $AD = 3$)

• $P$ лежит на отрезке $AC$, и $AP = 6$, $DP = 4$

Нам нужно построить координаты точки $P$, используя длины $AP$ и $DP$. Однако, координатный подход может усложниться, поэтому лучше воспользоваться отношением площадей, применяя векторные методы или геометрически.

Шаг 4: Геометрический способ — отношение площадей

Треугольники $\triangle ADP$ и $\triangle DBE$ находятся в разных частях треугольника, но можно выразить их площади, используя базу и высоту или по известным сторонам и синусам углов, если возможно. Однако это громоздко.

Поступим иначе: выразим площади через векторное произведение или через отношения треугольников с общими вершинами и высотами.

Рассмотрим:

• В $\triangle AB$, $D$ делит $AB$ как $AD : DB = 1 : 2$

• Пусть высота из точки $P$ к стороне $AB$ одинакова для треугольников $\triangle ADP$ и $\triangle DBE$

• Аналогично, в $\triangle BC$, $E$ лежит на $BC$, и $BE = 8$

• Рассмотрим треугольники $\triangle DBE$ и $\triangle ADP$

Представим их площади через основание и высоту:

Площадь треугольника:

Пусть мы расположим всё так, чтобы было проще видеть их отношения. Из анализа данных видно, что треугольники имеют пропорциональные стороны (если доказать, что они подобны или выразить площади в виде соотношений).

Используем координаты для точного расчёта:

Пусть:

• $A = (0, 0)$

• $B = (9, 0)$

• Тогда $D = (3, 0)$

• Поскольку $AP = 6$, а $DP = 4$, координаты $P$ можно найти из треугольника $ADP$, если известна его высота.

Чтобы не углубляться в координатную геометрию, проще перейти к векторному способу.

Обходной путь: построим соотношение на основе подобия.

Если предположить, что треугольники $\triangle ADP$ и $\triangle DBE$ имеют равные высоты к сторонам $AD$ и $DB$ соответственно (они лежат на прямой $AB$), то их площади относятся как произведения оснований и высот: