В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отмечены точки M и K соответственно так, что BM : AB = 1:2 ,а BK : BC= 4: 5. Во сколько раз площадь треугольника ABC больше площади треугольника MBK ?

Чтобы найти, во сколько раз площадь треугольника $\triangle ABC$ больше площади треугольника $\triangle MBK$, разберёмся поэтапно.

Шаг 1: Отношение отрезков на сторонах $AB$ и $BC$

1. На стороне $AB$ точка $M$ делит отрезок так, что $BM : AB = 1:2$. Это означает, что:

   $$BM = \frac{1}{3} AB, \quad AM = \frac{2}{3} AB.$$

2. На стороне $BC$ точка $K$ делит отрезок так, что $BK : BC = 4:5$. Это означает, что:

   $$BK = \frac{4}{9} BC, \quad KC = \frac{5}{9} BC.$$

Шаг 2: Используем соотношение площадей

Площадь треугольника определяется как половина произведения основания на высоту. Для треугольников, которые лежат на одном основании или имеют параллельные стороны, площади также пропорциональны произведению длин сторон.

Площадь треугольника $\triangle MBK$ пропорциональна произведению отрезков $BM$ и $BK$, так как $M$ и $K$ делят стороны треугольника $\triangle ABC$.

3. Отношение оснований:

   $$\frac{BM}{AB} = \frac{1}{3}, \quad \frac{BK}{BC} = \frac{4}{9}.$$

4. Площадь $\triangle MBK$ пропорциональна произведению:

   $$\text{Площадь } \triangle MBK \sim BM \cdot BK = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{27}.$$

5. Площадь треугольника $\triangle ABC$ — это полная площадь. Следовательно, отношение площадей:

   $$\frac{\text{Площадь } \triangle MBK}{\text{Площадь } \triangle ABC} = \frac{4}{27}.$$

Шаг 3: Во сколько раз площадь $\triangle ABC$ больше площади $\triangle MBK$

Если отношение площадей равно $\frac{4}{27}$, то площадь $\triangle ABC$ больше площади $\triangle MBK$ в:

Ответ:

Площадь треугольника $\triangle ABC$ больше площади треугольника $\triangle MBK$ в 6,75 раза.