В прямой треугольной призме все ребра равны. Боковая поверхность равна 12 м². Найти высоту.

Для решения задачи будем использовать геометрические свойства прямой треугольной призмы, в которой все ребра равны.

1. Обозначим элементы призмы:

   • Пусть длина всех рёбер равна $a$. Это означает, что все рёбра призмы, включая рёбра основания и боковые рёбра, имеют одинаковую длину.

   • Основание призмы — прямоугольный треугольник. В таком треугольнике катеты равны $a$, а гипотенуза будет равна $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

   • Высота призмы, которую нужно найти, обозначим через $h$.

2. Площадь боковой поверхности:
   Боковая поверхность прямой призмы состоит из прямоугольных боковых граней. Каждая боковая грань является прямоугольником, где одна сторона равна высоте $h$, а другая — длине ребра основания $a$. Так как боковых граней три (по количеству рёбер основания), то площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей этих граней:

   $$P_{\text{бок}} = 3 \cdot a \cdot h$$

   Нам известно, что площадь боковой поверхности $P_{\text{бок}} = 12 \, \text{м}^2$. Значит, можем составить уравнение:

   $$3 \cdot a \cdot h = 12$$

   Отсюда получаем:

   $$a \cdot h = 4$$

3. Найдем значение высоты $h$:
   Чтобы найти $h$, нужно выразить $a$ через $h$. Мы знаем, что призма состоит из прямоугольного треугольника с катетами $a$, а гипотенуза этого треугольника — $a\sqrt{2}$. Площадь основания призмы равна половине произведения катетов:

   $$P_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2}$$

   Таким образом, объём призмы, который равен площади основания, умноженной на высоту, равен:

   $$V = P_{\text{осн}} \cdot h = \frac{a^2}{2} \cdot h$$

   Однако, объём можно также выразить через куб с длиной ребра $a$, и для этого объём равен:

   $$V = a^3$$

   Приравняв два выражения для объёма, получаем:

   $$\frac{a^2}{2} \cdot h = a^3$$

   Упростим это уравнение:

   $$\frac{h}{2} = a \quad \text{или} \quad h = 2a$$

4. Подставим в уравнение для площади боковой поверхности:

   Теперь мы знаем, что $h = 2a$, подставим это в уравнение $a \cdot h = 4$:

   $$a \cdot 2a = 4$$

   Получаем:

   $$2a^2 = 4$$

   Отсюда:

   $$a^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{2}$$

5. Найдем высоту:

   Так как $h = 2a$, то высота будет:

   $$h = 2 \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \, \text{м}$$

Ответ: высота призмы равна $2\sqrt{2}$ метров, что примерно равно 2.83 метра.