Если катет в два раза меньше гипотенузы, то как доказать, что угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 градусам?

Для того чтобы доказать, что угол, лежащий напротив катета, в два раза меньшего гипотенузы, равен 30 градусам, нужно использовать свойства прямоугольного треугольника и теорему о синусах.

Предположим, у нас есть прямоугольный треугольник с углом $\alpha$ напротив катета, длина которого в два раза меньше гипотенузы. Обозначим стороны треугольника следующим образом:

• гипотенуза $c$,

• катет $a$,

• катет $b$.

Из условия задачи известно, что катет $a$ в два раза меньше гипотенузы $c$, то есть:

Для начала используем теорему о синусах, которая гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу угла, противолежащего этой стороне, одинаково для всех сторон треугольника. То есть:

Поскольку угол 90° — это прямой угол, то синус 90° равен 1, и выражение можно упростить:

Теперь подставим $a = \frac{c}{2}$ в это уравнение:

Умножим обе части на $\sin(\alpha)$, чтобы избавиться от знаменателя:

Разделим обе части на $c$:

Таким образом, $\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$, что соответствует углу $\alpha = 30^\circ$.

Следовательно, угол, лежащий напротив катета, в два раза меньшего гипотенузы, действительно равен 30 градусам.