Стороны АВ, ВС, СА треугольника АВС, равные 6 см, 10 см и 14 см, касаются окружности в точках D, E, F. Найдите AD, DB, BE, EC, CF, FA (КОРОТКО И ПОНЯТНО!) ЗАРАНЕЕ ОГРОМНОЕ СПАСИБО!

Чтобы найти отрезки касательных от точек касания окружности до вершин треугольника $A$, $B$ и $C$ (то есть $AD$, $DB$, $BE$, $EC$, $CF$ и $FA$), можно воспользоваться свойством касательных: отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны.

Для треугольника $ABC$ со сторонами $AB = 6 \, \text{см}$, $BC = 10 \, \text{см}$ и $CA = 14 \, \text{см}$ определим обозначения:

• $AD = x$
• $DB = y$
• $BE = z$
• $EC = w$
• $CF = u$
• $FA = v$

Согласно свойству, мы знаем, что:

1. $AD + DB = AB$ → $x + y = 6$
2. $BE + EC = BC$ → $z + w = 10$
3. $CF + FA = CA$ → $u + v = 14$

Также мы можем использовать то, что $AD = AF$, $DB = BE$, и $EC = CF$, так как отрезки касательных из одной точки равны:

• $x = v$
• $y = z$
• $w = u$

Теперь подставим в уравнения:

1. $x + y = 6$ → $x + z = 6$
2. $z + w = 10$ → $z + u = 10$
3. $u + v = 14$ → $u + x = 14$

Теперь подставим значения:

1. Из первого уравнения: $z = 6 - x$
2. Подставим $z$ во второе уравнение: $$(6 - x) + u = 10 \rightarrow u = 10 - 6 + x \rightarrow u = 4 + x$$
3. Подставим $u$ в третье уравнение: $$(4 + x) + x = 14 \rightarrow 2x + 4 = 14 \rightarrow 2x = 10 \rightarrow x = 5$$

Теперь, зная $x$, можем найти остальные отрезки:

• $AD = x = 5 \, \text{см}$
• $DB = y = 6 - x = 6 - 5 = 1 \, \text{см}$
• $BE = z = y = 1 \, \text{см}$
• $EC = w = 10 - z = 10 - 1 = 9 \, \text{см}$
• $CF = u = 4 + x = 4 + 5 = 9 \, \text{см}$
• $FA = v = x = 5 \, \text{см}$

Итак, получаем:

• $AD = 5 \, \text{см}$
• $DB = 1 \, \text{см}$
• $BE = 1 \, \text{см}$
• $EC = 9 \, \text{см}$
• $CF = 9 \, \text{см}$
• $FA = 5 \, \text{см}$

В итоге, все значения отрезков касательных:

• $AD = 5 \, \text{см}$
• $DB = 1 \, \text{см}$
• $BE = 1 \, \text{см}$
• $EC = 9 \, \text{см}$
• $CF = 9 \, \text{см}$
• $FA = 5 \, \text{см}$