В прямоугольном треугольнике ABC ∟C = 90°, ∟B = 30°, BC = 18 см, CK ┴ АВ, KM ┴ ВС. Найдите MB.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, угол B — 30°, а сторона BC равна 18 см, необходимо найти отрезок MB.

1. В треугольнике ABC угол B равен 30°, значит угол A равен 60°, так как сумма углов треугольника всегда 180°.

2. Известно, что в прямоугольном треугольнике с углом 30° длина противолежащей стороны (BC) в два раза меньше гипотенузы (AB). Таким образом, гипотенуза AB равна:

   $$AB = 2 \times BC = 2 \times 18 = 36 \, \text{см}.$$

3. Теперь найдем высоту CK, опущенную из вершины C на гипотенузу AB. Высота в прямоугольном треугольнике делит гипотенузу на два отрезка, которые пропорциональны прилежащим катетам. Обозначим длины этих отрезков как AK и KB. Согласно свойствам прямоугольных треугольников, выполняется следующее соотношение:

   $$\frac{AK}{BK} = \frac{AC}{BC}.$$

   Поскольку угол B равен 30°, то катет AC, прилежащий к углу 30°, равен половине гипотенузы:

   $$AC = \frac{AB}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, \text{см}.$$

   Теперь можем найти отношение AK и BK:

   $$\frac{AK}{BK} = \frac{AC}{BC} = \frac{18}{18} = 1.$$

   То есть отрезки AK и BK равны, и гипотенуза AB делится пополам в точке K.

4. Таким образом, отрезок KB, который является частью гипотенузы AB, равен половине длины гипотенузы:

   $$KB = \frac{AB}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, \text{см}.$$

5. MB — это отрезок, который идет от точки M на стороне BC до точки B. По условию задачи, точка M находится на стороне BC, и отрезок KM перпендикулярен BC. Таким образом, точка M — это проекция точки K на сторону BC. Поскольку точка K делит гипотенузу пополам, точка M делит отрезок BC на две равные части.

6. Следовательно, длина отрезка MB равна половине длины BC:

   $$MB = \frac{BC}{2} = \frac{18}{2} = 9 \, \text{см}.$$

Ответ: MB = 9 см.