Основание прямоугольной призмы — прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 см. Площадь полной поверхности призмы равна 120 см². Найдите объем призмы.

Для нахождения объема прямоугольной призмы нужно сначала определить её размеры, используя данные о площади полной поверхности.

1. Исходные данные:

   • Основание прямоугольной призмы — прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 см.

   • Площадь полной поверхности призмы равна 120 см².

2. Площадь основания:
   Основание — прямоугольный треугольник, площадь которого рассчитывается по формуле:

   $$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times a \times b$$

   где $a = 3$ см, $b = 4$ см. Тогда площадь основания:

   $$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \, \text{см}^2$$

3. Площадь боковых граней:
   У прямоугольной призмы боковые грани — прямоугольники, и их площадь рассчитывается как произведение стороны основания на высоту призмы. Нам нужны следующие боковые площади:

   • Грань с длиной катета 3 см: площадь будет $3 \times h$,

   • Грань с длиной катета 4 см: площадь будет $4 \times h$,

   • Грань с гипотенузой (найдём её по теореме Пифагора):

     $$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \, \text{см}.$$

     Площадь этой грани будет $5 \times h$.

4. Полная площадь поверхности призмы:
   Площадь полной поверхности состоит из двух оснований и трёх боковых граней:

   $$S_{\text{пов}} = 2 \times S_{\text{осн}} + 3 \times S_{\text{бок}}.$$

   Подставим данные:

   $$S_{\text{пов}} = 2 \times 6 + 3 \times (3h + 4h + 5h).$$

   Это выражение упрощается:

   $$S_{\text{пов}} = 12 + 3 \times 12h = 12 + 36h.$$

   Зная, что площадь полной поверхности равна 120 см², подставим это значение:

   $$12 + 36h = 120.$$

   Решаем для $h$:

   $$36h = 120 - 12 = 108,$$ $$h = \frac{108}{36} = 3.$$

   Высота призмы $h = 3$ см.

5. Объем призмы:
   Объем прямоугольной призмы рассчитывается по формуле:

   $$V = S_{\text{осн}} \times h.$$

   Подставим известные значения:

   $$V = 6 \times 3 = 18 \, \text{см}^3.$$

Ответ: объем прямоугольной призмы равен 18 см³.