СРОЧНО Цилиндр описан около прямой призмы, в основании которой прямоугольный треугольник с

Ответы на вопрос

Отвечает Жуков Степан.

Решение

Давайте подробно разберем задачу.

1. Определяем размеры основания призмы

Основание призмы — прямоугольный треугольник с катетами 13 см и 17 см. Используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы:

c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{13^2 + 17^2} = \sqrt{169 + 289} = \sqrt{458}.

Гипотенуза равна $\sqrt{458}$ .

2. Высота призмы

Диагональ большей грани призмы образует угол 45° с плоскостью основания. Рассмотрим диагональ большей грани, проходящую через высоту призмы $h$ и гипотенузу основания $\sqrt{458}$ . Так как угол между диагональю и основанием равен 45°, то:

\tan(45^\circ) = 1 = \frac{h}{\sqrt{458}} \implies h = \sqrt{458}.

Высота призмы равна $\sqrt{458}$ .

3. Цилиндр, описанный вокруг призмы

Описанный цилиндр имеет диаметр основания, равный диаметру окружности, описанной вокруг треугольника-основания призмы. Радиус окружности описанного вокруг прямоугольного треугольника вычисляется как половина гипотенузы:

R = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{458}}{2}.

Следовательно, радиус основания цилиндра:

R = \frac{\sqrt{458}}{2}.

Высота цилиндра равна высоте призмы:

H = \sqrt{458}.

4. Площадь полной поверхности цилиндра

Полная поверхность цилиндра состоит из боковой поверхности и двух оснований. Формула для площади полной поверхности:

S_{\text{полная}} = S_{\text{боковая}} + 2S_{\text{основание}}.

Площадь боковой поверхности:

S_{\text{боковая}} = 2\pi R H.

Подставляем значения:

S_{\text{боковая}} = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{458}}{2} \cdot \sqrt{458} = \pi \cdot 458.

Площадь одного основания:

S_{\text{основание}} = \pi R^2.

Подставляем значения:

S_{\text{основание}} = \pi \left(\frac{\sqrt{458}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{458}{4} = \frac{458\pi}{4}.

Площадь двух оснований:

2S_{\text{основание}} = 2 \cdot \frac{458\pi}{4} = \frac{458\pi}{2}.

Общая площадь:

S_{\text{полная}} = S_{\text{боковая}} + 2S_{\text{основание}} = \pi \cdot 458 + \frac{458\pi}{2}.

Приведём к общему знаменателю:

S_{\text{полная}} = \pi \cdot 458 + \pi \cdot 229 = 687\pi.

Ответ:

Площадь полной поверхности цилиндра равна:

S_{\text{полная}} = 687\pi \, \text{см}^2.