Доказать, что точка, которая лежит на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Чтобы доказать, что точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон, можно использовать геометрические свойства и теорему о биссектрисе угла.

1. Пусть угол $\angle ABC$ — это угол с вершиной в точке $B$, и пусть $D$ — точка, лежащая на биссектрисе этого угла. Задача заключается в том, чтобы доказать, что расстояния от точки $D$ до сторон угла $AB$ и $BC$ равны.

2. Биссектрисой угла называется такая прямая, которая делит угол пополам. То есть, угол $\angle ABD$ равен углу $\angle DBC$. Это основное свойство биссектрисы.

3. Теперь рассмотрим два треугольника: треугольники $ABD$ и $DBC$.

4. В треугольнике $ABD$ и в треугольнике $DBC$ у нас есть следующие данные:

   • Общая сторона $BD$,

   • Углы $\angle ABD = \angle DBC$, так как $D$ лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$,

   • Стороны $AB$ и $BC$ — это стороны угла, они могут быть разными, но в контексте биссектрисы важно, что углы при этих сторонах одинаковы.

5. Из этих данных можно применить теорему о равенстве двух треугольников по признаку равенства двух углов и стороны между ними (по признаку угла-угол-сторона). Это даёт нам равенство треугольников $ABD$ и $DBC$.

6. Следовательно, точки $A$ и $C$ симметричны относительно биссектрисы угла $\angle ABC$, а значит, расстояния от точки $D$ до сторон $AB$ и $BC$ равны.

Таким образом, точка, лежащая на биссектрисе угла, действительно равноудалена от его сторон.