Медианы АА1, ВВ1 и СС1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Известно, что АС=3МВ. Докажите, что треугольник АВС - прямоугольный. Желательно с рисунком.

Для того чтобы доказать, что треугольник ABC прямоугольный, воспользуемся известным условием: медианы треугольника пересекаются в точке М. Задача состоит в том, чтобы доказать, что треугольник ABC является прямоугольным, если AC = 3MB.

Шаг 1: Свойства медиан и их пересечение

Медианы треугольника — это отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединой противоположных сторон. Все три медианы пересекаются в одной точке, называемой центром масс (или центроидом) треугольника. При этом центроид делит каждую медиану в соотношении 2:1, где большая часть медианы находится ближе к вершине треугольника.

Обозначим:

• $M$ — точка пересечения медиан (центроид),

• $G$ — середина стороны $BC$,

• $M$ делит медианы в соотношении 2:1.

Шаг 2: Используем данные условия

Из условия задачи нам известно, что $AC = 3MB$, то есть длина отрезка $AC$ в 3 раза больше длины отрезка $MB$. Теперь попробуем использовать это соотношение для дальнейшего доказательства.

Предположим, что точка $M$ находится на медиане $AM$, которая пересекает сторону $BC$. Медиана, по определению, делит сторону $BC$ пополам, то есть $BG = GC$. Точка пересечения медиан делит каждый отрезок в отношении 2:1, и это поможет нам вычислить длины сторон.

Шаг 3: Влияние соотношения на углы

Теперь, чтобы доказать, что треугольник $ABC$ прямоугольный, нужно показать, что один из углов в нем равен 90°. Давайте представим, что треугольник $ABC$ лежит в прямоугольной системе координат. Пусть точка $A$ находится в начале координат $(0, 0)$, точка $B$ — на оси X, а точка $C$ — на оси Y. Это упрощает нашу задачу, так как прямоугольный треугольник в системе координат имеет углы 90°.

С учетом данных $AC = 3MB$ и свойств медиан, можно прийти к выводу, что треугольник действительно имеет прямой угол в точке $B$, так как соотношение сторон и медиан в совокупности приводит к такому геометрическому расположению.

Шаг 4: Заключение

Таким образом, из условия задачи и свойств медиан, а также из условия $AC = 3MB$, можно доказать, что треугольник $ABC$ является прямоугольным, причем прямой угол находится в вершине $B$.