Докажите, что отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Докажем, что отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Пусть у нас есть окружность с центром в точке $O$, и точка $P$ — произвольная точка вне этой окружности. Проведем касательные от точки $P$ к окружности. Пусть эти касательные касаются окружности в точках $A$ и $B$.

1. Равенство отрезков касательных.
   Рассмотрим два отрезка $PA$ и $PB$, которые являются касательными к окружности. Согласно теореме о касательных к окружности, проведенные из одной точки, эти отрезки равны. То есть:

   $$PA = PB.$$

2. Равенство углов с прямой через точку и центр окружности.
   Теперь докажем, что углы, которые эти касательные составляют с прямой $OP$, равны.
   Пусть $O$ — центр окружности, и проведем прямую $OP$, соединяющую точку $P$ с центром окружности. Мы знаем, что касательные к окружности перпендикулярны радиусам в точках касания. То есть:

   $$OA \perp PA \quad \text{и} \quad OB \perp PB.$$

   Рассмотрим треугольники $OAP$ и $OBP$. Эти треугольники имеют:

   • Общую сторону $OP$,

   • Равные стороны $OA = OB$ (поскольку оба отрезка — радиусы одной окружности),

   • Прямые углы $\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$.

   По теореме о равенстве треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники $OAP$ и $OBP$ равны:

   $$\triangle OAP \cong \triangle OBP.$$

   Это означает, что углы $\angle OAP = \angle OBP$, то есть углы между касательными и прямой $OP$ равны.

Таким образом, мы доказали, что отрезки касательных $PA$ и $PB$ равны, а углы $\angle OAP$ и $\angle OBP$ между касательными и прямой $OP$ также равны.