Что такое биссектриса?

Биссектриса — это луч (или отрезок внутри фигуры), который делит угол на два равных угла. Классический способ сказать: каждая точка на биссектрисе равноудалена от обеих сторон угла (расстояние — перпендикуляры к сторонам).

Что важно знать:

1. В треугольнике
   • Внутренняя биссектриса вершины A пересекает противоположную сторону в точке, которая делит её в отношении прилежащих сторон:
    BD : DC = AB : AC.
   • Три внутренние биссектрисы пересекаются в одной точке — это центр вписанной окружности (инцентр). Он равноудалён от всех сторон треугольника, поэтому туда можно вписать окружность.
   • Длина биссектрисы из вершины A (к стороне a = BC) выражается формулами
    $\ell_a = \dfrac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c} = \dfrac{\sqrt{bc\big((b+c)^2 - a^2\big)}}{\,b+c\,}$,
   где b = AC, c = AB. Обе записи эквивалентны.
   • Внешняя биссектриса (делит внешний угол) пересекает продолжение противоположной стороны и тоже даёт отношение AB : AC, но «внешним» образом.
   • Внутренняя и внешняя биссектрисы одного угла взаимно перпендикулярны.

2. Конструкция циркулем и линейкой
   • Из вершины угла сделайте дугу, пересекающую обе стороны угла в точках P и Q.
   • С тем же радиусом (или одинаковым радиусом) постройте дуги с центрами в P и Q; их пересечение внутри угла обозначьте R.
   • Соедините вершину с R — это и есть биссектриса.

3. Геометрический смысл
   • Биссектриса — геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.
   • В многоугольниках часто говорят «биссектриса угла многоугольника» — это просто биссектриса соответствующего внутреннего угла.

Отдельно: слово «биссектриса» обычно относится именно к углу. Для отрезка аналогичная «делилка пополам» — это серединный перпендикуляр (прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно ему).