1) ABCD - параллелограмм. Найти: FD 2) MF || AB. Найдите: MF и BM 3) Найдите: AC 4) Найдите: AC и AB

К сожалению, без чертежа (где именно стоят точки F и M) единственного численного ответа нет: в параллелограмме много разных «типовых» конфигураций с F и M, и от этого зависят длины. Ниже я разберу ровно те случаи, которые чаще всего встречаются в задачах с такими вопросами, и дам готовые формулы/ход решения. Вы можете просто подставить свои данные.

1) ABCD — параллелограмм. Найти FD

Частый случай: F — точка пересечения диагоналей (иногда её обозначают O).
Тогда диагонали делятся пополам, и

Если у вас известны координаты/длины сторон: положите $A(0,0)$, $B(b,0)$, $D(u,v)$, тогда $C(b+u,v)$. Диагональ $DB$ имеет длину

Если же F — середина другой диагонали $AC$, то это уже другая конфигурация: нужно считать расстояние от вершины $D$ до середины $AC$. В тех же координатах середина $AC$ — $\big(\tfrac{b+u}{2},\tfrac{v}{2}\big)$, и

(Здесь «повезло»: численно вышло то же самое, но геометрически это уже не «половина $DB$» по определению, а просто совпало в параллелограмме.)

2) $MF\parallel AB$. Найдите MF и BM

Самый ходовой рисунок: $M$ — середина $AD$, а $F$ — точка пересечения диагоналей. Тогда в $\triangle ABD$ отрезок $MF$, соединяющий середину $AD$ с серединой $BD$, параллелен $AB$ и равен половине $AB$ (средняя линия треугольника):

А отрезок $BM$ — это медиана треугольника $ABD$, проведённая к стороне $AD$. Её длина выражается через стороны треугольника формулой медианы:

Если же у вас другая «привязка» точки $M$ (например, $M$ — середина $BC$ или $CD$), логика та же: используйте теорему о средней линии в нужном треугольнике и подобие треугольников. Всегда работает правило: «отрезок, параллельный стороне, равен этой стороне, умноженной на коэффициент подобия».

3) Найдите $AC$

Главная формула для диагонали параллелограмма через стороны и угол между ними $\alpha=\angle DAB$:

А в координатной модели из пункта (1) это просто длина вектора $AC=(b+u,\,v)$:

4) Найдите $AC$ и $AB$

Здесь есть два стандартных «набора данных», от которых зависят формулы:

A. Даны стороны $AB=a$, $AD=d$ и угол $\alpha=\angle DAB$