Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор радиуса 6 см и дугой 120 градусов. Найдите площадь поверхности конуса.

Для нахождения площади поверхности конуса, нам нужно учесть два компонента: площадь боковой поверхности и площадь основания.

1. Площадь боковой поверхности:
   Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор. Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно вычислить площадь этого сектора.

   Формула для площади кругового сектора:

   $$S_{\text{sector}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$$

   где:

   • $\alpha = 120^\circ$ — угол сектора,

   • $r = 6 \, \text{см}$ — радиус сектора.

   Подставляем значения:

   $$S_{\text{sector}} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 6^2 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 36 = 12\pi \, \text{см}^2.$$

   То есть, площадь боковой поверхности конуса составляет $12\pi \, \text{см}^2$, что примерно равно $37.7 \, \text{см}^2$.

2. Площадь основания:
   Основание конуса — это круг. Чтобы найти его площадь, используется стандартная формула для площади круга:

   $$S_{\text{base}} = \pi r^2$$

   Радиус основания конуса равен радиусу сектора (так как сектор — это развертка боковой поверхности конуса), то есть $r = 6 \, \text{см}$.

   Подставляем значение:

   $$S_{\text{base}} = \pi \cdot 6^2 = 36\pi \, \text{см}^2.$$

   То есть, площадь основания составляет $36\pi \, \text{см}^2$, что примерно равно $113.1 \, \text{см}^2$.

3. Общая площадь поверхности конуса:
   Чтобы найти общую площадь поверхности конуса, нужно сложить площадь боковой поверхности и площадь основания:

   $$S_{\text{total}} = S_{\text{sector}} + S_{\text{base}} = 12\pi + 36\pi = 48\pi \, \text{см}^2.$$

   Это примерно равно $150.8 \, \text{см}^2$.

Таким образом, площадь поверхности конуса составляет $48\pi \, \text{см}^2$, что приблизительно равно $150.8 \, \text{см}^2$.