Определите угол при вершине осевого сечения конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой, равной 90 градусов. Решение поподробнее пожалуйста.

Давайте разберем задачу поэтапно.

Дано:

1. Развертка боковой поверхности конуса представляет собой сектор с дугой, равной $90^\circ$.
2. Нужно определить угол при вершине осевого сечения конуса.

Решение:

1. Связь развертки конуса с его параметрами

Развертка боковой поверхности конуса — это сектор круга с радиусом, равным образующей $l$ конуса. Длина дуги этого сектора связана с длиной окружности основания конуса. Формула длины дуги $L$ сектора:

где $r$ — радиус основания конуса.

Поскольку дуга сектора равна $90^\circ$, или $\frac{1}{4}$ длины окружности полного круга, получаем:

Из равенства дуг развертки и основания:

Сократим $\pi$:

Отсюда находим связь образующей и радиуса основания:

2. Угол при вершине осевого сечения

В осевом сечении конус выглядит как равнобедренный треугольник, где:

• основание треугольника равно диаметру основания конуса ($2r$),
• боковые стороны равны образующей ($l = 4r$).

Угол при вершине $\alpha$ можно найти через геометрические соотношения. Используем формулу для косинуса угла $\alpha$ в равнобедренном треугольнике:

Подставляем $l = 4r$:

Отсюда:

Теперь найдём полный угол $\alpha$:

3. Приблизительный результат

С помощью табличных значений или калькулятора находим:

Тогда:

Ответ:

Угол при вершине осевого сечения конуса составляет приблизительно $151.04^\circ$.