Разверткой боковой поверхности конуса является полукруг. Найдите угол при вершине осевого сечения.

Если развертка боковой поверхности конуса представляет собой полукруг, то это означает, что длина дуги полукруга равна длине окружности основания конуса.

Для начала определим основные элементы, которые нам понадобятся:

1. Радиус основания конуса — это радиус основания окружности, на которой лежит основание конуса.

2. Радиус боковой поверхности — это расстояние от вершины конуса до любого точки основания, что также является радиусом полукруга в развертке.

Пусть:

• $R$ — радиус основания конуса.

• $l$ — длина образующей конуса, которая равна радиусу полукруга.

Из условия задачи мы знаем, что длина дуги полукруга равна длине окружности основания конуса, то есть:

А длина окружности основания конуса равна:

Поскольку длина дуги полукруга равна длине окружности основания, получаем:

Отсюда:

Таким образом, радиус боковой поверхности $l$ в два раза больше радиуса основания $R$.

Теперь для того, чтобы найти угол при вершине осевого сечения, вспомним, что осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания, то есть $2R$, а боковые стороны — это образующие конуса, которые равны $l$. В нашем случае $l = 2R$, то есть боковые стороны равны основанию.

Осевое сечение такого конуса будет равнобедренным треугольником, у которого угол при вершине (угол между боковыми сторонами) будет равен 90 градусов. Это происходит, потому что треугольник становится прямым, когда длина образующих равна диаметру основания.

Таким образом, угол при вершине осевого сечения равен 90 градусам.