Сечение шара площадью 16π см² находится на расстоянии 3 см от центра шара. Найдите площадь поверхности шара.

Площадь сечения шара, которое создается плоскостью, проходящей на расстоянии 3 см от центра шара, равна 16π см². Нам нужно найти площадь поверхности всего шара.

1. Обозначим радиус шара как $R$, а радиус сечения, которое является кругом, как $r$.

2. Площадь круга сечения вычисляется по формуле:

   $$S_{\text{сечение}} = \pi r^2$$

   Согласно условию задачи, площадь сечения равна $16\pi$, поэтому:

   $$\pi r^2 = 16\pi$$

   Разделим обе части уравнения на $\pi$:

   $$r^2 = 16$$ $$r = 4 \, \text{см}$$

   Таким образом, радиус круга сечения $r = 4$ см.

3. Сечение шара создается плоскостью, расположенной на расстоянии 3 см от центра. Это означает, что расстояние от центра шара до плоскости сечения равно 3 см.

4. По теореме Пифагора для треугольника, образованного радиусом шара $R$, радиусом сечения $r$ и расстоянием от центра до плоскости (высотой) $3$ см, можно записать следующее соотношение:

   $$R^2 = r^2 + 3^2$$

   Подставим известные значения:

   $$R^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$ $$R = 5 \, \text{см}$$

   Таким образом, радиус шара $R = 5$ см.

5. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:

   $$S_{\text{поверхность}} = 4\pi R^2$$

   Подставим значение $R = 5$:

   $$S_{\text{поверхность}} = 4\pi (5^2) = 4\pi \times 25 = 100\pi \, \text{см}^2$$

Ответ: Площадь поверхности шара равна $100\pi$ см².