Доказать, что диагонали ромба перпендикулярны.

Для доказательства того, что диагонали ромба перпендикулярны, рассмотрим несколько важных свойств ромба и его диагоналей.

1. Определение ромба: Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны между собой.

2. Свойства диагоналей ромба:

   • Диагонали ромба делят его на четыре прямоугольных треугольника.

   • Диагонали ромба пересекаются в одной точке и при этом делят друг друга пополам.

   • Диагонали ромба не только делят друг друга пополам, но и пересекаются под прямым углом (то есть перпендикулярны).

3. Доказательство:
   Пусть ромб ABCD, где его диагонали — это AC и BD, которые пересекаются в точке O.

   • Поскольку все стороны ромба равны, то по определению ромба, $AB = BC = CD = DA$.

   • Диагонали ромба делят его на два одинаковых прямоугольных треугольника.

   Рассмотрим прямоугольные треугольники $AOB$ и $CDB$, которые являются отражением друг друга. Они имеют:

   • $AB = CD$ (по свойству ромба, все стороны равны),

   • $BO = OD$ (диагонали делят друг друга пополам),

   • $AO = OC$ (диагонали делят друг друга пополам).

   Эти треугольники также имеют общий угол $\angle AOB$, который равен $90^\circ$, так как диагонали перпендикулярны.

Таким образом, диагонали ромба перпендикулярны, что и требовалось доказать.