В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 4 см, а длина диагонали основания 6√2. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Для того чтобы найти площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, нужно рассчитать площади её основания и боковых граней.

1. Площадь основания: Основание пирамиды — это квадрат, так как основание правильной четырёхугольной пирамиды является квадратом. Нам дана длина диагонали квадрата, которая равна $6\sqrt{2}$.

   Диагональ квадрата $d$ связана с его стороной $a$ по формуле:

   $$d = a\sqrt{2}$$

   Подставим значение диагонали:

   $$6\sqrt{2} = a\sqrt{2}$$

   Чтобы найти сторону квадрата $a$, разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

   $$a = 6 \, \text{см}$$

   Площадь квадрата будет равна квадрату его стороны:

   $$S_{\text{осн}} = a^2 = 6^2 = 36 \, \text{см}^2$$

2. Площадь боковых граней: Боковые грани пирамиды — это четыре равных треугольника. Чтобы найти площадь боковой поверхности, нам нужно вычислить площадь одного треугольника и умножить её на 4 (так как граней четыре).

   Для этого сначала найдём высоту бокового треугольника. Высотой бокового треугольника является отрезок, соединяющий вершину пирамиды с серединой стороны основания. Эта высота является перпендикулярной к основанию треугольника и проходит через его вершину.

   Для вычисления этой высоты используем теорему Пифагора. Мы знаем, что высота пирамиды $h = 4 \, \text{см}$, а половина стороны основания квадрата равна $a/2 = 6/2 = 3 \, \text{см}$. Таким образом, для нахождения боковой высоты $h_b$ (высоты треугольника) мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, где одной стороной является высота пирамиды, а другой — половина стороны квадрата:

   $$h_b = \sqrt{h^2 + (a/2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \, \text{см}$$

3. Площадь одного бокового треугольника: Площадь треугольника можно найти по формуле:

   $$S_{\text{треугольник}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$$

   Основанием треугольника является сторона квадрата, то есть $a = 6 \, \text{см}$, а высотой — $h_b = 5 \, \text{см}$. Подставим значения:

   $$S_{\text{треугольник}} = \frac{1}{2} \times 6 \times 5 = 15 \, \text{см}^2$$

4. Площадь боковой поверхности: Так как боковых треугольников 4, то общая площадь боковой поверхности будет равна:

   $$S_{\text{бок}} = 4 \times 15 = 60 \, \text{см}^2$$

5. Площадь полной поверхности пирамиды: Площадь полной поверхности пирамиды — это сумма площади основания и площади боковой поверхности:

   $$S_{\text{полная}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 36 + 60 = 96 \, \text{см}^2$$

Ответ: площадь поверхности пирамиды составляет 96 см².