Из точки к плоскости прямоугольного треугольника с катетами 15 и 20 проведён перпендикуляр длиной 16. Основание перпендикуляра — вершина прямого угла треугольника. Найти расстояние от данной точки до гипотенузы.

Для решения задачи воспользуемся формулой для площади прямоугольного треугольника через основание и высоту, а также через стороны треугольника и гипотенузу.

1. Найдем площадь треугольника.
   Площадь прямоугольного треугольника можно найти через его катеты:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150.$$

2. Площадь треугольника через основание перпендикуляра и его высоту.
   В задаче указано, что перпендикуляр длиной 16 проведен из точки к вершине прямого угла, которая является основанием треугольника. Площадь также можно выразить как:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \text{дистанция от точки до гипотенузы}.$$

   Таким образом, площадь выражается как:

   $$150 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot h,$$

   где $h$ — это расстояние от точки до гипотенузы. Из этого уравнения найдём $h$:

   $$150 = 8 \cdot h \quad \Rightarrow \quad h = \frac{150}{8} = 18.75.$$

Ответ: расстояние от данной точки до гипотенузы равно 18.75.