Через вершину прямого угла C к плоскости прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр KC.
Точка D — серединная точка гипотенузы AB.
Длина катетов треугольника AC = 72 мм и BC = 96 мм.
Расстояние KC = 63 мм. Определи длину отрезка KD

Задача состоит в том, чтобы найти длину отрезка KD, где K — точка, через которую проведён перпендикуляр к плоскости треугольника ABC, а D — середина гипотенузы AB.

Дано:

• Треугольник ABC прямоугольный, прямой угол в точке C.
• Длина катетов: AC = 72 мм, BC = 96 мм.
• Расстояние от вершины C до плоскости треугольника (перпендикуляр от C к плоскости) равно KC = 63 мм.
• Точка D — середина гипотенузы AB.

Решение:

1. Нахождение длины гипотенузы AB: Треугольник прямоугольный, значит гипотенузу AB можно найти по теореме Пифагора:

   $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{72^2 + 96^2} = \sqrt{5184 + 9216} = \sqrt{14400} = 120 \text{ мм}.$$

2. Определение координат точек: Удобно представить треугольник ABC в системе координат. Пусть точка C будет в начале координат (0, 0, 0), точка A — на оси x (AC = 72 мм), а точка B — на оси y (BC = 96 мм).

   Таким образом, координаты точек будут:

   • C(0, 0, 0)
   • A(72, 0, 0)
   • B(0, 96, 0)

3. Нахождение координат точки D (середины гипотенузы AB): Точка D делит гипотенузу AB пополам, следовательно, её координаты будут серединами координат точек A и B:

   $$D\left(\frac{72+0}{2}, \frac{0+96}{2}, 0\right) = D(36, 48, 0).$$

4. Определение координат точки K: Точка K лежит на прямой, перпендикулярной плоскости треугольника ABC, проходящей через точку C. Мы знаем, что расстояние от точки C до плоскости равно 63 мм, а перпендикуляр из точки C на плоскость направлен вдоль оси z. Следовательно, координаты точки K будут:

   $$K(0, 0, 63).$$

5. Нахождение расстояния KD: Теперь мы можем найти длину отрезка KD, используя формулу для расстояния между двумя точками в пространстве:

   $$KD = \sqrt{(x_K - x_D)^2 + (y_K - y_D)^2 + (z_K - z_D)^2}.$$

   Подставляем координаты точек K(0, 0, 63) и D(36, 48, 0):

   $$KD = \sqrt{(0 - 36)^2 + (0 - 48)^2 + (63 - 0)^2} = \sqrt{(-36)^2 + (-48)^2 + 63^2}.$$

   Вычисляем:

   $$KD = \sqrt{1296 + 2304 + 3969} = \sqrt{7569} = 87 \text{ мм}.$$

Ответ:

Длина отрезка KD равна 87 мм.