1)Вершина С равностороннего треугольника АВС, сторона которого 8 см, удалена от плоскости α на расстояние 2корней из 3 см. Вычислите угол между плоскостями треугольника АВС и α, если сторона АВ лежит в плоскости α.
2)К плоскости прямоугольника с середины большей стороны проведен перпендикуляр. Его конец удален от одной из диагоналей на 30 см. Найдите длину перпендикуляра, если стороны прямоугольника равны 45 см и 60 см.

Задача 1: Угол между плоскостями треугольника и плоскостью α

Итак, нам нужно найти угол между плоскостями треугольника ABC и плоскостью α.

1. У нас есть равносторонний треугольник ABC, где длина каждой стороны равна 8 см.
2. Вершина С удалена от плоскости α на расстояние $2 \sqrt{3}$ см.
3. Сторона AB лежит в плоскости α, то есть эта сторона уже находится в плоскости α.

Для того чтобы решить задачу, давайте разобьем её на шаги:

Шаг 1: Описание геометрической ситуации

Мы имеем равносторонний треугольник ABC, который расположен так, что одна из его сторон (AB) лежит в плоскости α. Вершина C этого треугольника расположена вне плоскости α, и её высота от плоскости α составляет $2 \sqrt{3}$ см.

Для начала нужно понять, что угол между плоскостями определяется углом между нормалями этих плоскостей. В данном случае нормаль к плоскости треугольника ABC будет перпендикулярна к прямой, соединяющей центр масс треугольника с вершиной C.

Шаг 2: Найдём нормаль к плоскости треугольника ABC

Поскольку треугольник равносторонний, его высота будет одновременно медианой и биссектрисой. Чтобы найти эту высоту, используем формулу для высоты равностороннего треугольника с длиной стороны $a$:

Для $a = 8$ см:

Теперь, нормаль к плоскости треугольника будет направлена вдоль этой высоты. Однако, важно заметить, что вершина C расположена на расстоянии $2 \sqrt{3}$ см от плоскости α.

Шаг 3: Используем определение угла между плоскостями

Для того чтобы найти угол между плоскостью треугольника и плоскостью α, мы должны найти угол между нормалями к этим плоскостям. Нормаль к плоскости треугольника совпадает с направлением высоты, а нормаль к плоскости α направлена перпендикулярно её поверхности.

Мы знаем, что расстояние от вершины C до плоскости α равно $2 \sqrt{3}$ см, а вершина C лежит на линии, которая перпендикулярна к плоскости треугольника. Таким образом, угол между нормалью к плоскости треугольника и нормалью к плоскости α можно найти через скалярное произведение.

Ответ:

После вычислений, угол между плоскостями составляет $30^\circ$.

Задача 2: Длина перпендикуляра от середины стороны прямоугольника к диагонали

Давайте разберемся с задачей про прямоугольник. Из условия мы знаем, что:

• Прямоугольник имеет стороны 45 см и 60 см.
• Перпендикуляр проведён из середины большей стороны (60 см) к диагонали прямоугольника.
• Расстояние от конца перпендикуляра до одной из диагоналей равно 30 см.

Нам нужно найти длину перпендикуляра.

Шаг 1: Используем свойства прямоугольника

Площадь прямоугольника можно выразить как произведение его сторон:

Также, длина диагонали прямоугольника может быть найдена по теореме Пифагора:

Шаг 2: Находим длину перпендикуляра

Перпендикуляр из середины большей стороны к диагонали прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника. Расстояние от точки перпендикуляра до диагонали прямоугольника (30 см) — это высота одного из этих треугольников. Так как мы знаем площадь прямоугольника и длину диагонали, можем вычислить нужную высоту (перпендикуляр).

Площадь прямоугольного треугольника, образованного диагональю и перпендикуляром, равна:

где $d = 75$ см — диагональ, а $h$ — высота, которую мы ищем.

Площадь треугольника также можно выразить как половину площади прямоугольника:

Теперь, используя формулу для площади треугольника, находим $h$:

Ответ:

Длина перпендикуляра от середины большей стороны прямоугольника до диагонали составляет 36 см.