Докажите, что периметры подобных треугольников относятся как длины соответствующих сторон.

Ответы на вопрос

Отвечает Позывной Данил.

Пусть даны два подобных треугольника:
$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ .

По определению подобия треугольников:

У них равны соответствующие углы:
$\angle A = \angle A',\quad \angle B = \angle B',\quad \angle C = \angle C'.$
Отношения соответствующих сторон равны и равны некоторому числу $k>0$ , которое называется коэффициентом подобия:
$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} = k.$

Из этого следует, что каждая сторона второго треугольника в $k$ раз больше (или меньше, если $k<1$ ) соответствующей стороны первого:

A'B' = k \cdot AB,\quad B'C' = k \cdot BC,\quad A'C' = k \cdot AC.

Теперь рассмотрим периметры этих треугольников.

Периметр первого треугольника:

P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC.

Периметр второго треугольника:

P_{\triangle A'B'C'} = A'B' + B'C' + A'C'.

Подставим выражения через коэффициент подобия:

P_{\triangle A'B'C'} = k \cdot AB + k \cdot BC + k \cdot AC.

Вынесем $k$ за скобки:

P_{\triangle A'B'C'} = k (AB + BC + AC) = k \cdot P_{\triangle ABC}.

Отсюда получаем отношение периметров:

\frac{P_{\triangle A'B'C'}}{P_{\triangle ABC}} = k.

Но $k$ — это как раз отношение любых соответствующих сторон подобных треугольников, например:

k = \frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC}.

Следовательно,

\frac{P_{\triangle A'B'C'}}{P_{\triangle ABC}} = \frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC}.

Ответы на вопрос