МНК - равнобедренный треугольник с основанием НМ, Пмнк = 48 см. Чему равна биссектриса КР, если периметр треугольника КРН составляет 370 мм?

Треугольник $MNK$ равнобедренный с основанием $MN$, значит биссектриса из вершины $K$ к основанию $MN$ одновременно является и медианой, и высотой. Обозначим точку её пересечения с основанием через $R$. Тогда $R$ — середина $MN$, то есть $RN=\tfrac{MN}{2}$. Обозначим равные боковые стороны через $s=KN=KM$, основание через $b=MN$, а саму биссектрису-высоту через $h=KR$.

Даны:

• периметр $\triangle MNK: \; 2s+b=48$ см $\Rightarrow b=48-2s$;

• периметр $\triangle KRN: \; KN+KR+RN=s+h+\tfrac{b}{2}=370$ мм $=37$ см.

Подставляем $\tfrac{b}{2}=24-s$ во второе равенство:

Это и есть длина биссектрисы $KR$. В миллиметрах:

(Проверка: по теореме Пифагора в прямоугольном $\triangle KRN$: $h^2+(\tfrac{b}{2})^2=s^2$. При $h=13$ см получается согласованное значение $s$, а периметр $KRN$ действительно равен $37$ см.) Ответ: $KR=130$ мм.