№1 Параллельные прямые а и b пересечены двумя параллельными секущими АВ и CD, причём точки А и С лежат на прямой а, а точки В и D — на прямой b. Докажите, что АС=BD.

Для доказательства того, что $AC = BD$, рассмотрим параллельные прямые $a$ и $b$, которые пересечены двумя параллельными секущими $AB$ и $CD$. Точки $A$ и $C$ лежат на прямой $a$, а точки $B$ и $D$ — на прямой $b$.

1. Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, то прямые $AB$ и $CD$, пересекающие эти прямые, должны быть параллельны между собой. Это означает, что угол между прямой $AB$ и прямой $a$ равен углу между прямой $CD$ и прямой $a$ (или угол между прямой $AB$ и прямой $b$ равен углу между прямой $CD$ и прямой $b$).

2. Теперь рассмотрим треугольники $ABC$ и $BCD$. В этих треугольниках, поскольку прямые $AB$ и $CD$ параллельны, мы имеем равные углы при вершинах $A$ и $C$, а также равные углы при вершинах $B$ и $D$, то есть углы $\angle ABC$ и $\angle BCD$ равны.

3. По теореме о пропорциональности отрезков, если две прямые, пересекающие две параллельные прямые, то отрезки, образуемые этими прямыми на одной стороне от пересечения, пропорциональны. Это означает, что отрезки $AC$ и $BD$ должны быть равны. То есть, $AC = BD$.

Таким образом, мы доказали, что $AC = BD$, как требовалось.