Дано треугольник ABC - равнобедренный, угол 1 = углу 2. Доказать: треугольник ADC - равнобедренный.

Я решал так. Пусть $ABC$ — равнобедренный с $AB=AC$ (основание $BC$). Точка $D$ взята на луче $BC$ (внутри или на продолжении), причём на рисунке углы $1$ и $2$ — это $\angle DAB$ и $\angle ACD$ соответственно, и по условию $\angle DAB=\angle ACD$.

Тогда

Но в равнобедренном $ABC$ $\angle CAB=\angle CBA$. Поэтому

С другой стороны,

(перепишем аккуратно: $\angle ACD=\angle ACB-\angle DCA$; а $\angle ACB=\angle CBA$, и по условию $\angle DCA=\angle DAB$). Значит

Сравнивая, получаем

В треугольнике $ADC$ оказались равны углы при вершинах $A$ и $C$, значит у него равны и противолежащие стороны: $AD=DC$. Следовательно, $\triangle ADC$ — равнобедренный, что и требовалось доказать.