равнобедренный треугольник abc и правильный треугольник adc не лежат в одной плоскости. отрезок bd является перпендикуляром к плоскости adc/найдите двугранный угол bacd если ab=bc=2 корней из 5 см, ac= 4 см

Для решения этой задачи разберёмся с треугольниками и пространственными взаимосвязями между ними.

Шаг 1. Определение геометрии треугольников и условия задачи

У нас есть:

1. Равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB = BC = 2\sqrt{5}$ см и основанием $AC = 4$ см.
2. Правильный треугольник $ADC$, не лежащий в одной плоскости с $ABC$.
3. Отрезок $BD$, перпендикулярный плоскости $ADC$, что позволяет утверждать, что точка $D$ находится вне плоскости $ABC$.

Нам нужно найти двугранный угол $\angle BACD$, то есть угол между плоскостями $ABC$ и $ADC$ вдоль общего ребра $AC$.

Шаг 2. Определение высоты $BD$

Чтобы найти двугранный угол, нам нужно установить расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$, что соответствует высоте $BD$.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, сначала найдём высоту из вершины $B$ к основанию $AC$.

Вычисление высоты $BM$ в треугольнике $ABC$

1. Найдём длину отрезка $AM$, где $M$ — середина $AC$. $$AM = \frac{AC}{2} = \frac{4}{2} = 2 \, \text{см}.$$
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$, в котором гипотенуза $AB = 2\sqrt{5}$ и катет $AM = 2$. Найдём высоту $BM$ по теореме Пифагора: $$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{20 - 4} = \sqrt{16} = 4 \, \text{см}.$$

Шаг 3. Определение высоты $BD$ в правильном треугольнике $ADC$

Теперь перейдём к треугольнику $ADC$, который является правильным. В правильном треугольнике высота также служит медианой и биссектрисой, проходящей через вершину $D$ и середину $AC$.

1. Так как $AC = 4$, медиана (высота) $DO$ в треугольнике $ADC$ опустится на середину $O$ отрезка $AC$, и её длину можно найти через формулу для высоты в правильном треугольнике: $$DO = \frac{\sqrt{3}}{2} \times AC = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = 2\sqrt{3} \, \text{см}.$$

Таким образом, $BD$ — это высота из $B$ к плоскости $ADC$, равная $DO = 2\sqrt{3}$ см.

Шаг 4. Нахождение двугранного угла $\angle BACD$

Теперь найдём двугранный угол между плоскостями $ABC$ и $ADC$ вдоль их общего ребра $AC$. Двугранный угол определяется как угол между нормалями к этим плоскостям.

Векторный подход

1. В плоскости $ABC$ нормаль можно задать через вектор, перпендикулярный вектору $AB$ и $AC$.
2. В плоскости $ADC$ нормаль будет перпендикулярна $AC$ и $AD$.

Так как $BD$ перпендикулярно $ADC$, то угол между нормалями к плоскостям $ABC$ и $ADC$ равен углу между высотой $BM$ и отрезком $BD$.

Поскольку $BM = 4$ см и $BD = 2\sqrt{3}$ см, а угол $BMD$ — прямой, то: