Теорема о свойстве точек, лежащих на биссектрисе угла.

Теорема (о свойстве точек, лежащих на биссектрисе угла).
Точка лежит на биссектрисе угла тогда и только тогда, когда она равноудалена от сторон этого угла.

1) Формулировка “в одну сторону” (основное свойство)

Пусть дан угол $\angle AOB$. Если точка $P$ лежит на биссектрисе этого угла, то расстояния от $P$ до сторон $OA$ и $OB$ равны.

Что значит “расстояние от точки до стороны угла”:
Это длина перпендикуляра, опущенного из точки на соответствующую сторону.
То есть, если $PH \perp OA$ и $PK \perp OB$, то утверждение такое:

2) Формулировка “в обратную сторону” (признак биссектрисы)

Если внутри угла $\angle AOB$ взята точка $P$ так, что её расстояния до сторон угла равны (то есть перпендикуляры к сторонам имеют одинаковую длину), то точка $P$ лежит на биссектрисе угла:

3) Почему это верно (идея доказательства через равенство прямоугольных треугольников)

Рассмотрим угол $\angle AOB$ и точку $P$.

1. Опустим перпендикуляры:

   • $PH \perp OA$,

   • $PK \perp OB$.

Треугольники $\triangle OPH$ и $\triangle OPK$ — прямоугольные.

Доказательство свойства (если $P$ на биссектрисе, то расстояния равны)

Если $P$ на биссектрисе, то

Но $\angle AOP$ — это угол между $OA$ и $OP$, а $\angle POB$ — между $OP$ и $OB$.
В треугольниках $OPH$ и $OPK$:

• $\angle OHP = 90^\circ$ и $\angle OKP = 90^\circ$,

• гипотенуза одна и та же: $OP$,

• острые углы при $O$ равны (потому что $OP$ делит угол пополам).

Значит, прямоугольные треугольники равны (по гипотенузе и острому углу), откуда равны соответствующие катеты:

Доказательство признака (если расстояния равны, то $P$ на биссектрисе)

Если $PH = PK$, то в прямоугольных треугольниках $OPH$ и $OPK$:

• гипотенуза $OP$ общая,

• один катет равен: $PH = PK$,

• углы при $H$ и $K$ прямые.

Следовательно, треугольники равны (по гипотенузе и катету). Тогда равны углы при вершине $O$:

А эти углы как раз показывают, что луч $OP$ делит угол $\angle AOB$ пополам, то есть $P$ лежит на биссектрисе.

4) Как применять на практике

• Чтобы доказать, что точка лежит на биссектрисе, удобно показать, что её перпендикулярные расстояния до сторон угла равны.

• Чтобы найти множество точек, равноудалённых от сторон угла, нужно провести биссектрису: все точки на ней (и только они, если речь о внутренней области угла) обладают этим свойством.

Итог:
Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудалённых от его сторон.