Из вершины угла проведён луч, перпендикулярный его биссектрисе и образующий со стороной данного угла угол, равный b. Найдите величину данного угла.

Рассмотрим задачу. Пусть угол, вершина которого обозначена $O$, задан как $\angle AOB$, а величина угла равна $\alpha$. Биссектриса угла $\angle AOB$ делит его пополам, образуя два угла по $\frac{\alpha}{2}$. Обозначим биссектрису как $OC$, где $C$ лежит внутри угла $\angle AOB$.

Теперь из вершины $O$ проведён луч $OD$, перпендикулярный биссектрисе $OC$. Этот луч $OD$ образует угол $b$ со стороной угла $OA$.

Что мы знаем:

1. Луч $OD$ перпендикулярен биссектрисе $OC$, значит угол между $OD$ и $OC$ равен $90^\circ$.
2. Угол между $OD$ и стороной $OA$ равен $b$.
3. Нам нужно найти величину угла $\alpha = \angle AOB$.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник $\triangle OAC$. Поскольку $OC$ — это биссектриса, то угол $\angle AOC = \frac{\alpha}{2}$.
2. Вспомним, что $OD$ перпендикулярен $OC$. Это означает, что в треугольнике $\triangle OAD$, угол $\angle COD = 90^\circ$.
3. Поскольку $\angle AOD = b$, угол $\angle AOC + \angle COD + \angle DOA = 180^\circ$, так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$.
4. Подставим известные значения: $$\frac{\alpha}{2} + 90^\circ + b = 180^\circ.$$
5. Выразим $\alpha$: $$\frac{\alpha}{2} = 180^\circ - 90^\circ - b,$$ $$\frac{\alpha}{2} = 90^\circ - b.$$
6. Умножим обе стороны на 2: $$\alpha = 2(90^\circ - b).$$
7. Упростим: $$\alpha = 180^\circ - 2b.$$

Ответ:

Величина угла $\alpha$ равна $180^\circ - 2b$.