Ниже — классическая формулировка аксиомы параллельных и одно из самых известных следствий из неё, с простым доказательством в духе школьной геометрии.

Аксиома параллельных

(Формулировка Плейфера, эквивалентная V постулату Евклида.)
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной.

Эта аксиома не выводится из остальных аксиом евклидовой геометрии и определяет именно «евклидов» тип пространства.

Следствие: сумма углов треугольника равна 180°

Утверждение. В любом треугольнике сумма внутренних углов равна развернутому углу:
$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$.

Доказательство.
Возьмём треугольник $ABC$. Через вершину $A$ проведём прямую $l$, параллельную стороне $BC$ (по аксиоме параллельных такая прямая существует и единственна).

Рассмотрим углы при вершине $A$, образованные прямыми $AB$ и $AC$ с прямой $l$:

1. Угол, наклонённый к $AB$ на линии $l$, равен углу $\angle B$ треугольника, так как это накрест лежащие углы при параллельных $l \parallel BC$ и секущей $AB$.

2. Аналогично, угол, наклонённый к $AC$ на линии $l$, равен углу $\angle C$ (накрест лежащие углы при секущей $AC$).

Теперь на прямой $l$ эти два угла примыкают к углу $\angle A$ треугольника и вместе составляют развернутый угол $180^\circ$. Значит,

Что и требовалось доказать.

Эквивалентное следствие: внешний угол равен сумме двух внутренних несмежных

Утверждение. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство.
Пусть у треугольника $ABC$ продолжена сторона $BC$ за точку $C$, и получен внешний угол при вершине $C$, обозначим его $\angle C_{\text{внешн}}$. По уже доказанному,
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Но $\angle C_{\text{внешн}} = 180^\circ - \angle C$ (смежные углы в сумме дают $180^\circ$). Тогда

Что и требовалось.

Замечу, что оба утверждения логически эквивалентны аксиоме параллельных: принимая любое из них в качестве «пятого постулата», можно вывести остальные свойства евклидовой геометрии и восстановить формулировку Плейфера.