Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN — равнобедренный.

Пусть $AO$ — биссектриса угла $A$, а прямая $\ell\perp AO$ пересекает стороны угла в точках $M$ и $N$. Обозначим $K=\ell\cap AO$.

Рассмотрим треугольники $AMK$ и $ANK$.

1. $\angle AKM=\angle AKN=90^\circ$, потому что $AK\subset AO$, $KM, KN\subset \ell$, а $\ell\perp AO$.

2. $\angle MAK=\angle KAN$, так как $AO$ — биссектриса угла $A$: лучи $AM$ и $AN$ образуют стороны угла при вершине $A$, и угол между каждым из них и $AO$ равен.

Следовательно, треугольники $AMK$ и $ANK$ подобны (по двум углам). При этом сторона $AK$ является общей и соответствует самой себе, значит коэффициент подобия равен $1$. Отсюда вытекает равенство соответствующих сторон: $AM=AN$.

Итак, треугольник $AMN$ равнобедренный.