Прямая АВ перпендикулярна плоскости альфа, С принадлежит плоскости альфа. Известно, что АВ = 7 корень из 2, угол САВ = 45 градусов. Найдите длину отрезка АС

Раз $AB \perp \alpha$ и $C \in \alpha$, то отрезок $BC$ лежит в плоскости $\alpha$, а значит $AB \perp BC$. Следовательно, $\angle ABC = 90^\circ$, и треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при $B$.

Дано $\angle CAB = 45^\circ$. Тогда в прямоугольном треугольнике это означает, что углы при $A$ и $C$ равны по $45^\circ$, то есть треугольник — равнобедренный при катетах $AB$ и $BC$. Гипотенуза — $AC$.

Используем $\cos 45^\circ = \dfrac{AB}{AC}$:

Ответ: $AC = 14$.