может ли прямоугольный треугольник быть а)равнобедренным б)равносторонним? обязательно с доказательством, но без теоремы Пифагора

а) Может ли прямоугольный треугольник быть равнобедренным? — Да, может.

Доказательство (без теоремы Пифагора).
Пусть треугольник $ABC$ прямоугольный, и прямой угол находится при $C$: $\angle C = 90^\circ$.
Чтобы он был равнобедренным, нужно, чтобы две стороны были равны. В прямоугольном треугольнике естественный вариант — равенство катетов: $CA = CB$.

Рассмотрим тогда углы при основании. В любом равнобедренном треугольнике углы при основании равны: если $CA = CB$, то $\angle A = \angle B$ (это следует из равенства треугольников, например, если провести биссектрису угла $C$, она одновременно станет медианой и высотой, и получатся два равных треугольника).

Теперь используем сумму углов треугольника:

Подставляем $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = \angle B$:

Значит, $\angle B = 45^\circ$ тоже.

Итак, существует прямоугольный равнобедренный треугольник: у него один угол $90^\circ$, а два других по $45^\circ$, и катеты равны. Следовательно, прямоугольный треугольник может быть равнобедренным.

б) Может ли прямоугольный треугольник быть равносторонним? — Нет, не может.

Доказательство (без теоремы Пифагора).
Если треугольник равносторонний, то у него все стороны равны. А значит, он равнобедренный сразу по любой паре сторон, и из свойства равнобедренного треугольника следует, что соответствующие углы равны. В итоге в равностороннем треугольнике все углы равны.

Обозначим каждый угол равностороннего треугольника через $x$. Тогда по сумме углов треугольника:

То есть в равностороннем треугольнике каждый угол равен $60^\circ$.

Но прямоугольный треугольник обязан иметь угол $90^\circ$.
Поскольку $90^\circ \ne 60^\circ$, один и тот же треугольник не может одновременно иметь все углы по $60^\circ$ и при этом иметь угол $90^\circ$.

Следовательно, прямоугольный треугольник не может быть равносторонним.