Может ли прямоугольный треугольник быть равнобедренным и почему?

Да, может. Равнобедренный — это треугольник с двумя равными сторонами. В прямоугольном треугольнике такими равными сторонами могут быть только катеты.

Почему так:

• Если предположить, что гипотенуза равна одному из катетов, то по теореме Пифагора $c^2=a^2+b^2$. При $c=a$ получили бы $a^2=a^2+b^2\Rightarrow b=0$, что невозможно. Значит, равными могут быть лишь катеты.

• Если катеты равны ($a=b$), то гипотенуза $c=a\sqrt{2}$ (она больше катета), а углы при основании равны. Остальные два угла в прямоугольном треугольнике в сумме дают $90^\circ$, значит каждый из них по $45^\circ$. Такой треугольник — это классический «$45^\circ\!-\!45^\circ\!-\!90^\circ$».

Пример: катеты по 1, гипотенуза $\sqrt{2}$. Следовательно, прямоугольный треугольник может быть равнобедренным, если его два катета равны.