100 б Начертите три неколлинеарных вектора a b c постройте векторы равные 1/4a+2b.3b-a. 5b-2c​.1\3 b+3а

Для начала нарисуем три неколлинеарных вектора $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, и $\mathbf{c}$. Неколлинеарные вектора - это такие вектора, которые не лежат на одной прямой. Мы можем расположить их в двумерном или трехмерном пространстве. Допустим, они расположены в двумерном пространстве для простоты визуализации.

После этого построим новые векторы, используя данные комбинации:

1. $\frac{1}{4}\mathbf{a} + 2\mathbf{b}$
2. $3\mathbf{b} - \mathbf{a}$
3. $5\mathbf{b} - 2\mathbf{c}$
4. $\frac{1}{3}\mathbf{b} + 3\mathbf{a}$

Для построения каждого из этих векторов, мы должны выполнить следующие шаги:

1. $\frac{1}{4}\mathbf{a} + 2\mathbf{b}$: уменьшаем вектор $\mathbf{a}$ в четыре раза, удлиняем вектор $\mathbf{b}$ в два раза, и складываем их. Это даст нам новый вектор.

2. $3\mathbf{b} - \mathbf{a}$: удлиняем вектор $\mathbf{b}$ в три раза, затем вычитаем из него вектор $\mathbf{a}$. Результат - это новый вектор.

3. $5\mathbf{b} - 2\mathbf{c}$: удлиняем вектор $\mathbf{b}$ в пять раз, удлиняем вектор $\mathbf{c}$ в два раза, и вычитаем второй из первого. Получаем новый вектор.

4. $\frac{1}{3}\mathbf{b} + 3\mathbf{a}$: уменьшаем вектор $\mathbf{b}$ в три раза, удлиняем вектор $\mathbf{a}$ в три раза, и складываем их. Это даст нам последний новый вектор.

Важно помнить, что когда мы умножаем вектор на число (скаляр), мы меняем его длину, но не направление. Если скаляр отрицательный, вектор также меняет свое направление на противоположное.

Теперь, когда мы знаем, как построить эти векторы, давайте визуализируем их. Вот примерный рисунок с описанными векторами:

На этом графике показаны исходные векторы $\mathbf{a}$ (красный), $\mathbf{b}$ (зеленый), $\mathbf{c}$ (синий), а также полученные векторы:

1. $\frac{1}{4}\mathbf{a} + 2\mathbf{b}$ - желтый
2. $3\mathbf{b} - \mathbf{a}$ - голубой
3. $5\mathbf{b} - 2\mathbf{c}$ - пурпурный
4. $\frac{1}{3}\mathbf{b} + 3\mathbf{a}$ - черный

Каждый из этих векторов построен с учетом заданных линейных комбинаций исходных векторов. Это визуальное представление помогает понять, как изменяется направление и длина векторов при их умножении на скаляры и последующем сложении. ​​