Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна 3√6 см, а его измерения относятся как 3 : 3 : 6. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с рёбрами $a,\; b,\; c$. По условию основание — квадрат, значит

Также сказано, что измерения (то есть длины рёбер) относятся как $3:3:6$. Тогда можно записать:

где $k>0$ — общий множитель.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда (пространственная диагональ) вычисляется по формуле:

По условию $d=3\sqrt6$. Подставим $a,b,c$:

Так как $k>0$, имеем:

Значит:

а) Измерения параллелепипеда

Подставляем $k=1$:

То есть размеры: $3\text{ см} \times 3\text{ см} \times 6\text{ см}$.

б) $\sin$ угла между диагональю и плоскостью основания

Пусть основание лежит в плоскости, а высота параллелепипеда равна $c=6$ см (перпендикуляр к основанию). Пространственная диагональ имеет длину $d=3\sqrt6$.

Угол между прямой и плоскостью удобно находить через синус:

Перпендикулярная к основанию составляющая диагонали — это ровно высота $c$, то есть $6$ см. Тогда:

Ответ:

1. $3\text{ см},\, 3\text{ см},\, 6\text{ см}$.

2. $\sin\varphi=\dfrac{\sqrt6}{3}$.