Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 136 а его измерения относятся 16:18:24. Найдите 1)измерения параллелепипеда ;2)синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания

Задача состоит из двух частей: сначала нужно найти измерения прямоугольного параллелепипеда, а затем вычислить синус угла между диагональю и плоскостью основания.

1. Найдем измерения параллелепипеда

Обозначим размеры параллелепипеда как $a$, $b$ и $c$, где они относятся как 16:18:24. Это означает, что:

где $k$ — общий коэффициент пропорциональности. Теперь, зная, что диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 136, можем использовать формулу для диагонали параллелепипеда:

Подставим значения для $a$, $b$ и $c$:

Упростим выражение:

Теперь найдем $k$:

Теперь, зная значение $k$, можем найти размеры параллелепипеда:

Таким образом, размеры параллелепипеда равны 64, 72 и 96.

2. Найдем синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания

Теперь нужно найти угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания. Пусть плоскость основания — это одна из граней, например, грань с размерами $a$ и $b$. Диагональ этого прямоугольного параллелепипеда — это вектор, соединяющий противоположные вершины. Угол между диагональю и плоскостью основания можно найти через скалярное произведение.

Для начала найдем вектор диагонали параллелепипеда. Его координаты будут:

Для вычисления угла между диагональю и плоскостью нужно найти угол между вектором диагонали и нормалью к плоскости основания. Нормаль к плоскости основания — это вектор, перпендикулярный этой плоскости. Плоскость основания имеет размеры $a$ и $b$, и нормаль будет вектором $\vec{n} = (0, 0, 1)$, то есть вдоль оси $z$.

Сначала найдем косинус угла между вектором диагонали $\vec{d} = (64, 72, 96)$ и нормалью $\vec{n} = (0, 0, 1)$. Для этого используем формулу для косинуса угла между двумя векторами:

Векторное произведение векторов $\vec{d}$ и $\vec{n}$ будет равно:

Теперь найдем длины векторов $\vec{d}$ и $\vec{n}$: