В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 5,7, корень из 47 в квадрате. Найти диагональ параллелепипеда и синус угла между диагональю паралилипипеда и плоскостью его основания

Для того чтобы решить эту задачу, нужно выполнить несколько шагов. Рассмотрим, что у нас есть: прямоугольный параллелепипед с измерениями 5, 7 и $\sqrt{47}^2$, то есть длина одного из его ребер — это число 47.

Шаг 1: Находим диагональ параллелепипеда

Диагональ прямоугольного параллелепипеда можно найти с помощью теоремы Пифагора в трех измерениях. Диагональ $d$ прямоугольного параллелепипеда с длинами рёбер $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле:

В нашем случае $a = 5$, $b = 7$, $c = \sqrt{47}^2 = 47$. Подставляем эти значения в формулу:

Считаем квадрат каждого числа:

Теперь находим корень из 2283:

Таким образом, длина диагонали параллелепипеда примерно равна 47.8.

Шаг 2: Находим синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания

Теперь нужно найти синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания. Под основанием параллелепипеда понимается плоскость, образованная двумя рёбрами, которые соединяются в одной вершине.

Чтобы найти синус угла, сначала определим, какие векторы участвуют в вычислениях. Мы можем считать, что один из рёбер параллелепипеда лежит по оси $x$, другой — по оси $y$, а третий — по оси $z$. Пусть:

• Вектор, соответствующий рёбру $a = 5$, будет $\vec{a} = (5, 0, 0)$,
• Вектор, соответствующий рёбру $b = 7$, будет $\vec{b} = (0, 7, 0)$,
• Вектор, соответствующий диагонали параллелепипеда, будет $\vec{d} = (5, 7, 47)$.

Чтобы найти синус угла между диагональю и плоскостью основания, нам нужно использовать формулу для угла между вектором и плоскостью:

где $\vec{n}$ — это нормальный вектор плоскости основания (в данном случае это вектор, перпендикулярный плоскости, который можно найти как векторное произведение $\vec{a} \times \vec{b}$).

Векторное произведение $\vec{a} \times \vec{b}$ будет равно:

Это нормальный вектор $\vec{n} = (0, 0, 35)$.

Теперь вычислим нужные величины:

• $|\vec{d}| = 47.8$,
• $|\vec{n}| = 35$.

Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{d} \cdot \vec{n}$: