Дан куб с ребром 10 найти угол между диагональю и плоскостью основания.

Для того чтобы найти угол между диагональю и плоскостью основания куба, нужно рассмотреть геометрическое положение точек и векторов.

1. Дано:

   • Куб с длиной ребра 10.

   • Необходимо найти угол между диагональю куба и плоскостью основания.

2. Как строится диагональ:
   Диагональ куба — это отрезок, соединяющий две противоположные вершины куба, которые не лежат на одной грани. Пусть одна вершина куба будет в начале координат (0, 0, 0), а другая — в точке (10, 10, 10). Диагональ будет иметь векторное направление (10, 10, 10).

3. Как строится плоскость основания:
   Плоскость основания куба — это плоскость, на которой лежат все вершины, чьи координаты имеют z = 0 (плоскость XY).

4. Вектор, перпендикулярный плоскости основания:
   Плоскость основания перпендикулярна вектору, направленному вдоль оси z. Таким образом, нормаль к плоскости будет вектором (0, 0, 1).

5. Определение угла между векторами:
   Чтобы найти угол между диагональю и плоскостью основания, нужно найти угол между вектором диагонали и нормалью к плоскости. Формула для угла между двумя векторами выглядит так:

   $$\cos \theta = \frac{ \vec{A} \cdot \vec{B} }{|\vec{A}| |\vec{B}|}$$

   где:

   • $\vec{A} = (10, 10, 10)$ — вектор диагонали,

   • $\vec{B} = (0, 0, 1)$ — вектор нормали к плоскости основания.

6. Вычисления:

   • Скалярное произведение $\vec{A} \cdot \vec{B} = 10 \times 0 + 10 \times 0 + 10 \times 1 = 10$,

   • Длина вектора $\vec{A}$: $|\vec{A}| = \sqrt{10^2 + 10^2 + 10^2} = \sqrt{300}$,

   • Длина вектора $\vec{B}$: $|\vec{B}| = 1$.

   Подставляем в формулу:

   $$\cos \theta = \frac{10}{\sqrt{300} \times 1} = \frac{10}{\sqrt{300}} = \frac{10}{10\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.$$

7. Угол:
   Теперь находим угол $\theta$:

   $$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right).$$

   Это примерно $\theta \approx 54.74^\circ$.

Таким образом, угол между диагональю куба и плоскостью основания составляет примерно 54.74 градуса.