В треугольнике ABC известно, что AC = BC = 15, tg A = 2√6. Найдите длину стороны AB.

Для решения задачи в треугольнике ABC, где AC = BC = 15 и tg A = 2√6, воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников и теоремой о тангенсе угла.

1. Поскольку AC = BC, треугольник ABC является равнобедренным.

2. Пусть точка D – это основание перпендикуляра, опущенного из вершины A на основание BC (так как треугольник равнобедренный, это будет высота).

3. Мы знаем, что тангенс угла A равен 2√6, а тангенс угла равен отношению противоположной стороны к прилежащей:

   $$tg A = \frac{h}{\frac{AB}{2}} = 2\sqrt{6}$$

   где h — высота треугольника. Поскольку h = AD, можно выразить это уравнение как:

   $$\frac{h}{\frac{AB}{2}} = 2\sqrt{6} \quad \Rightarrow \quad h = 2\sqrt{6} \cdot \frac{AB}{2} = \sqrt{6} \cdot AB$$

4. Для нахождения высоты h, можно использовать теорему Пифагора в треугольнике ACD (прямоугольный треугольник):

   $$h^2 + \left( \frac{AB}{2} \right)^2 = AC^2$$

   Подставим известные значения:

   $$h^2 + \left( \frac{AB}{2} \right)^2 = 15^2 = 225$$

   Получаем уравнение:

   $$h^2 + \frac{AB^2}{4} = 225$$

5. Теперь подставим выражение для h из предыдущего шага:

   $$(\sqrt{6} \cdot AB)^2 + \frac{AB^2}{4} = 225$$ $$6 \cdot AB^2 + \frac{AB^2}{4} = 225$$

6. Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:

   $$24 \cdot AB^2 + AB^2 = 900$$ $$25 \cdot AB^2 = 900$$

7. Разделим обе части уравнения на 25:

   $$AB^2 = \frac{900}{25} = 36$$

8. Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

   $$AB = 6$$

Ответ: длина стороны AB равна 6.