В равнобедренную трапецию ,периметр которой равен 80,а площадь равна 320,можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания

Чтобы решить задачу о равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, с известным периметром и площадью, необходимо понять несколько ключевых свойств трапеции и воспользоваться формулами для нахождения расстояния от точки пересечения диагоналей до её меньшего основания. Давайте разберем решение пошагово.

Шаг 1: Свойства трапеции, в которую можно вписать окружность

Если в трапецию можно вписать окружность, то сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон. Обозначим длины оснований $a$ и $b$, где $a$ — длина большего основания, а $b$ — длина меньшего основания. Обозначим длину боковых сторон через $c$.

Тогда для трапеции, в которую можно вписать окружность, выполняется равенство:

Шаг 2: Использование условий задачи

По условию задачи:

• Периметр трапеции равен 80.
• Площадь трапеции равна 320.

Периметр трапеции выражается формулой:

Подставим в это уравнение свойство трапеции, в которую можно вписать окружность:

Таким образом, сумма длин оснований трапеции равна 40, и сумма длин боковых сторон также равна 40 ($2c = 40 \Rightarrow c = 20$).

Шаг 3: Использование формулы площади трапеции

Формула площади трапеции выглядит следующим образом:

где $h$ — высота трапеции. Подставим известные значения:

Шаг 4: Нахождение расстояния от точки пересечения диагоналей до меньшего основания

Для равнобедренной трапеции точка пересечения диагоналей делит высоту на отрезки, пропорциональные основаниям трапеции. Обозначим расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания через $x$, а расстояние до большего основания через $y$. Тогда:

Поскольку $x + y = h = 16$, можно выразить $y$ через $x$:

Подставим это в уравнение:

Теперь найдем соотношение $\frac{a}{b}$. Для этого вспомним, что сумма длин оснований равна 40:

Пусть $b = x$, тогда $a = 40 - x$. Подставим это в уравнение для $\frac{a}{b}$:

Решив это уравнение, находим значение $x$, которое представляет собой расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания.